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5.2 Die Binomialverteilung in Bezug auf den ABX-Hörvergleich
Wie bereits zuvor ausführlich beschrieben, wird beim vorliegenden ABX-Hörvergleich getestet, ob ein Proband ein Signal X, welches mittels eines Zufallsgenerators aus den Quellen A und B bei jedem durchgeführten Experiment erneut bestimmt wird, der entsprechend richtigen Quelle A oder B zuordnen kann (also: entweder X=A oder X=B ) . Mit X (hier nicht das Signal X!) wird die Anzahl der korrekten Entscheidungen des Probanden gezählt. Als Ereignis wird hier also das Auftreten einer korrekten Zuordnung gewertet.
Ist für den Probanden kein Unterschied hörbar, so entscheidet er sich willkürlich für eine der beiden Quellen A und B. Er entscheidet sich demzufolge mit einer Wahrscheinlichkeit von  für die richtige Quelle (oder die falsche).
Entschließt sich der Testhörer bei sämtlichen Durchführungen des Experiments rein zufällig, so lässt sich hier eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für angeben durch:
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mit x = 0, 1, ... ,n |
Wegen der oft propagierten und häufig beschriebenen klanglichen Unterschiede zwischen DSD und High-Resolution-PCM wurde diese Annahme übernommen, aber – bezogen auf diesen Hörvergleich – aufgrund der oben erwähnten Vorgehensweise aus statistischen Gründen die Hypothese formuliert, dass die Probanden zwischen den Quellen A und B keinen Unterschied wahrnehmen, sich also rein willkürlich oder eben zufällig entscheiden. Demzufolge wurden folgende Aussagen aufgestellt:
- Hypothese H: Es existieren keine wahrnehmbaren Unterschiede zwischen der Quelle A und der Quelle B
- Gegenhypothese G: Es existieren wahrnehmbare Unterschiede zwischen A und B
Da sowohl von der International Telecommunication Union (ITU) [76] als auch von der ABX-Company [77] ein Signifikanz-Niveau von 5% empfohlen wird, lässt sich die kritische Wahrscheinlichkeit P(K) mit nach folgender Gleichung bestimmen:
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| c: |
Anzahl der korrekten Entscheidungen |
| n: |
Anzahl der durchgeführten Versuche |
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Eintrittswahrscheinlichkeit P (X  c), sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, in n Versuchen mindestens c korrekte Antworten zu geben |
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Die ABX-Company empfiehlt eine Mindestanzahl von 16 durchzuführenden Versuchen. Trotz der größeren Anstrengung für den Probanden wurde die Zahl der Versuche auf 20 erhöht, da die Aussagekraft der statistischen Auswertung natürlich umso höher ist, je mehr Versuche durchgeführt werden (s. Tabelle der Eintrittswahrscheinlichkeiten am Ende dieses Kapitels). Anhand von zwei Beispielen soll nun die Auswertung und Interpretation von Testergebnissen verdeutlicht werden:
| Fall 1: |
Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit für mindestens 14 korrekte Entscheidungen bei 20 durchgeführten Versuchen:
Bei rein willkürlicher Entscheidung für A oder B beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens 14 korrekte Entscheidungen bei 20 Versuchen also 5,8%.
 liegt also gerade eben nicht im Bereich der kritischen Wahrscheinlichkeit  . In diesem Fall würde man die Hypothese H beibehalten und die Gegenhypothese G verwerfen. Man könnte also die Vermutung äußern, dass ein Unterschied zwischen den Quellen A und B vom Probanden nicht wahrgenommen wird. Es sei aber an dieser Stelle noch einmal erwähnt, dass hier ein Fehler zweiter Art (Entscheidung für H, obwohl G zutrifft) nicht auszuschließen ist.
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| Fall 2: |
Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit für mindestens 15 korrekte Entscheidungen bei 20 durchgeführten Versuchen:
Bei rein willkürlicher Entscheidung für A oder B beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 korrekte Entscheidungen bei 20 Versuchen also 2,1%.
Damit liegt  gerade im Bereich der kritischen Wahrscheinlichkeit . Es ergibt sich, dass man aufgrund der Entscheidungsregel die Hypothese H verwerfen und die Gegenhypothese G annehmen würde. In diesem Fall könnte man also davon ausgehen, dass der Proband einen Unterschied zwischen den Quellen A und B wahrgenommen hat.
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Sicherlich mag es ein wenig befremdlich erscheinen, dass die Differenz von nur einer korrekten Antwort bei der Auswertung eine Rolle spielen kann, aber ein Schwellwert muss festgelegt werden – dieser liegt durch Konvention bei 5%.
Aus der nachfolgenden Grafik-Übersicht Nr.41 [78] können – neben anderen – die verschiedenen Eintrittswahrscheinlichkeiten bei 20 durchgeführten Versuchen entnommen werden: 
[76] ITU-R BS.1116-1 1997: 27.
[77] http://www.pcavtech.com/abx/ .
[78] Die enthaltenen Werte wurden von http://www.pcavtech.com/abx/abx_bino.htm übernommen. |
